方法一：利用單調(diào)性求最值

學習導數(shù)以后，為討論函數(shù)的性質(zhì)開發(fā)了前所未有的前景，這不只局限于基本初等函數(shù)，凡是由幾個或多個基本初等函數(shù)加減乘除而得到的新函數(shù)都可以用導數(shù)作為工具討論函數(shù)單調(diào)性，這需要熟練掌握求導公式及求導法則，以及函數(shù)單調(diào)性與導函數(shù)符號之間的關(guān)系，還有利用導數(shù)如何求得函數(shù)的極值與最值。

例1已知函數(shù)，當x∈[-2，2]時，函數(shù)f(x)的圖象總在直線y=a-e2的上方，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：此題屬于恒成立問題，恒成立問題大都轉(zhuǎn)化為最值問題。

解：原問題等價于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。

令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原問題等價于a下面利用導數(shù)討論g(x)的最小值，求導可得g'(x)=x(1-ex)。

當x∈[-2，0]時，g'(x)≤0，從而g(x)在[-2，0]上單調(diào)遞減;

當x∈(0，2]時，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也單調(diào)遞減。

所以g(x)在[-2，2]上單調(diào)遞減，從而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)

評注：本題是求參數(shù)的取值范圍問題，利用等價轉(zhuǎn)化的可化為不等式恒成立問題，進而化為最值問題，再借助于導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出的最值。其實高中階段接觸到的最值問題大都可以運用單調(diào)性法求得最值。

方法二：利用不等式求最值

掌握和靈活運用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││這一類型的基本不等式，在求一些函數(shù)最值問題時通常十分便捷，在解題時務必注意考慮利用不等式求最值的條件限制。

例2若x∈R，且0分析：本題可以運用單調(diào)性法求最值，但是較麻煩，下面介紹一種新的方法。

解：。

由0則，當且僅當，即時取等號。

故當時，取得最小值9。

例3求使不等式│x-4│+│x-3│分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁;用絕對值不等式的性質(zhì)求解卻十分方便。

解：令f(x)=│x-4│+│x-3│原不等式有解，只需a>f(x)min，而f(x)=│x-4│+│x-3│≥│(x-4)-(x-3)│=1，當且僅當x∈[3，4]時，等號成立。

所以f(x)min=1，因此的a取值范圍是a∈[1，+∞]。

評注：例2表面上看本題不能使用基本不等式，但只要稍留心便能從兩個分母中發(fā)現(xiàn)“名堂”，一個分母是，另一個分母是，兩數(shù)之積正好為“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其實，即便不是“1”也可類似處理，只是式子前面要多乘一個系數(shù)。例4采用了絕對值三角不等式快捷的求出了參數(shù)的取值范圍。

方法三：數(shù)形結(jié)合法

將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過圖形的屬性及數(shù)量關(guān)系進行“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，把代數(shù)的問題等價性的用幾何的方法來求解，使之求解更簡單、快捷，也是解決最值問題的一種常用方法。

例4已知實數(shù)x、y滿足等式x2+y2-6x-6y+12=0，求的最值。

分析：如果把等式看成圓的一般式，那么就有點(x，y)在圓(x-3)2+(y-3)2=6上，那么表示該點與原點連線的斜率.由于圓位于第一象限，若過原點作圓的兩切線OA、OB(A，B為切點)，則的最值分別是直線OA、OB的斜率。

解：設(shè)，即y=kx，∴，

整理為k2-6k+1=0。解得。