2015年高考全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析（word精校版）

注意事項：

1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上。

2．回答第I卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3．回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,則A∩B=（）

（A）｛--1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝（D）｛,0,，1，2｝

【答案】A

【解析】由已知得

，故，故選A

（2）若a為實數(shù)且（2+ai）（a-2i）=-4i,則a=（）

（A）-1（B）0（C）1（D）2

【答案】B

（3）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是()

（A）逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

（B）2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)

（C）2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

（D）2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

【答案】D

【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)．

（4）等比數(shù)列｛an｝滿足a1=3，

=21，則()

（A）21（B）42（C）63（D）84

【答案】B

（5）設(shè)函數(shù)

,()

（A）3（B）6（C）9（D）12

【答案】C

【解析】由已知得

，又，所以，故．

（6）一個正方體被一個面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為

（A）

（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】由三視圖得，在正方體

中，截去四面體，如圖所示，，設(shè)正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為．

（7）過三點A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圓交于y軸于M、N兩點，則

=

（A）2

（B）8（C）4（D）10

【答案】C

（8）右邊程序抗土的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18，則輸出的a=

A.0B.2C.4D.14

【答案】B

【解析】程序在執(zhí)行過程中，

，的值依次為，

；；；；；，此時程序結(jié)束，輸出的值為2，故選B．

（9）已知A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為

A．36πB.64πC.144πD.256π

【答案】C

【解析】如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面

的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．

10.如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x．將動點P到A、B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大致為

【答案】B

的運動過程可以看出，軌跡關(guān)于直線對稱，且，且軌跡非線型，故選B．

（11）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為

（A）√5（B）2（C）√3（D）√2

【答案】D

（12）設(shè)函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)時，，則使得成立的x的取值范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】A

【解析】

記函數(shù)

，則，因為當(dāng)時，，故當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；又因為函數(shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，且．當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A．

二、填空題

（13）設(shè)向量

，不行，向量與行，則實數(shù)_________．

【答案】

【解析】因為向量

與行，所以，則所以．

（14）若x，y滿足約束條件

，則的最大值為____________．

【答案】

（15）

的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則__________．

【答案】

【解析】由已知得

，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．

（16）設(shè)

是數(shù)列的前n項和，且，，則________．

【答案】

【解析】由已知得

，兩邊同時除以，得，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以．

三．解答題

（17）?ABC中，D是BC上的點，AD分∠BAC，?ABD是?ADC面積的2倍。

(Ⅰ)求

;

(Ⅱ)若

=1，=求和的長.

(18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：

滿意度評分	低于70分	70分到89分	不低于90分
滿意度等級	不滿意	滿意	非常滿意

記時間C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率

19．（本小題滿分12分）

如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點E，F(xiàn)的面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。

（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求直線AF與面α所成的角的正弦值。

20．（本小題滿分12分）

已知橢圓C：

，直線l不過原點O且不行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M。

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（2）若l過點

，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由。

21．（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

。

（1）證明：

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（2）若對于任意

，都有，求m的取值范圍。

請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時請寫清題號

22．（本小題滿分10分）

選修4-1：幾何證明選講

如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點，⊙O與ΔABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點。

（1）證明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半徑，且

，求四邊形EBCF的面積。

23．（本小題滿分10分）

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：

（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α<π，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：，C3：。

（1）求C2與C3交點的直角坐標(biāo)；

（2）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求

的最大值。

24．（本小題滿分10分）

選修4-5：不等式選講

設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：

（1）若ab>cd；則

；

（2）

是的充要條件。

附：全部試題答案